Jak rozwiązać równanie kwadratowe?
- 1.
Wpisz współczynniki
Podaj a, b i c z równania ax² + bx + c = 0. Brakujący wyraz to 0, a „x²” bez liczby to a = 1.
- 2.
Odczytaj deltę
Δ = b² − 4ac decyduje o liczbie rozwiązań: dodatnia - dwa, zero - jedno, ujemna - brak rzeczywistych.
- 3.
Sprawdź pierwiastki
Kalkulator poda x₁ i x₂ w postaci dokładnej (ułamek lub z pierwiastkiem) i przybliżonej.
- 4.
Skopiuj rozwiązanie
Rozwiązanie krok po kroku, postać kanoniczną i iloczynową możesz skopiować do zeszytu lub zadania.
Wzory: delta i pierwiastki
Dla równania ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0):
- Δ = b² − 4ac
- Δ > 0: dwa pierwiastki x₁ = (−b − √Δ)/(2a), x₂ = (−b + √Δ)/(2a)
- Δ = 0: jeden pierwiastek podwójny x₀ = −b/(2a)
- Δ < 0: brak pierwiastków rzeczywistych (są dwa pierwiastki zespolone)
Przykład: 2x² − 3x + 1 = 0. a = 2, b = −3, c = 1. Δ = (−3)² − 4 · 2 · 1 = 9 − 8 = 1, √Δ = 1. x₁ = (3 − 1)/4 = 1/2, x₂ = (3 + 1)/4 = 1.
Gdy delta nie jest kwadratem liczby wymiernej, wynik zostaje z pierwiastkiem: x² − 4x + 1 = 0 daje Δ = 12, √Δ = 2√3, więc x = 2 − √3 ≈ 0,267949 i x = 2 + √3 ≈ 3,732051.
Postać ogólna, kanoniczna i iloczynowa
| Postać | Wzór | Przykład dla 2x² − 3x + 1 |
|---|---|---|
| ogólna | y = ax² + bx + c | y = 2x² − 3x + 1 |
| kanoniczna | y = a(x − p)² + q | y = 2(x − 3/4)² − 1/8 |
| iloczynowa | y = a(x − x₁)(x − x₂) | y = 2(x − 1/2)(x − 1) |
Współrzędne wierzchołka paraboli: p = −b/(2a), q = −Δ/(4a). W przykładzie W(3/4; −1/8). Postać iloczynowa istnieje tylko dla Δ ≥ 0; przy Δ = 0 ma postać y = a(x − x₀)², np. x² + 2x + 1 = (x + 1)².
Wzory Viète’a
Jeśli równanie ma pierwiastki (Δ ≥ 0), to ich suma i iloczyn wynikają wprost ze współczynników:
- x₁ + x₂ = −b/a
- x₁ · x₂ = c/a
Przykład: x² − 5x + 6 = 0 → suma 5, iloczyn 6, więc pierwiastki to 2 i 3 (2 + 3 = 5, 2 · 3 = 6). Wzory Viète’a pozwalają szybko sprawdzić wynik albo zgadnąć pierwiastki całkowite bez liczenia delty.
Szczególne przypadki i częste błędy
- a = 0 - to już nie jest równanie kwadratowe, tylko liniowe bx + c = 0 (x = −c/b). Kalkulator rozwiąże je automatycznie.
- Brak wyrazu - x² − 4 = 0 ma b = 0; 3x² + 6x = 0 ma c = 0 (wtedy wygodnie wyłączyć x przed nawias: x(3x + 6) = 0).
- Minus przy b - w równaniu x² − 5x + 6 = 0 współczynnik b = −5, więc −b = 5, a b² = 25 (nie −25).
- Ujemne a - dla a < 0 parabola ma ramiona skierowane w dół, a x₁ = (−b − √Δ)/(2a) jest większe od x₂.
- Delta ujemna - np. x² + x + 1 = 0 (Δ = −3): brak rozwiązań rzeczywistych; w liczbach zespolonych x = (−1 ± √3i)/2.
Najczęściej zadawane pytania
Jak obliczyć deltę?
+
Co jeśli delta jest ujemna?
+
Co jeśli delta jest równa zero?
+
Jak obliczyć wierzchołek paraboli?
+
Jak zamienić postać ogólną na kanoniczną?
+
Czy kalkulator przyjmuje ułamki i liczby dziesiętne?
+
Aktualizacja: